Modelo de Poisson aplicado a la violencia en Sinaloa

RESUMEN

En este estudio es presentado una derivación formal del estimador de máxima verosimilitud de la tasa  λ̂ de un proceso de Poisson homogéneo, junto con su varianza asintótica y el intervalo de confianza asociado, para el caso de eventos discretos y raros como los delitos de alto impacto: homicidio doloso, feminicidio, secuestro y violación. Como aplicación particular, se calcula la tasa per cápita τ̂ de delitos de alto impacto en el estado de Sinaloa durante 2025. Los resultados arrojan un estimador estatal agregado de  λ̂ = 1,845 eventos po año, lo que se traduce en una tasa de 60.95 por cada 100,000 habitantes y una probabilidad individual anual de sufrir un evento del 0.061%. Finalmente, se formaliza (sin parámetros adicionales, directamente a partir de la tasa estimada  λ̂) la razón señal-ruido del conteo observado como función de la ventana de observación, demostrando analíticamente cómo el ruido estadístico aumenta de un marginal 2.33% en observaciones anuales, a dominar por completo la señal en el monitoreo diario (44.48%) y por hora (217.90%).

1. INTRODUCCIÓN

Los delitos de alto impacto (homicidio doloso, feminicidio, secuestro, violación y robo bancario, según la definición de la Fiscalía General del Estado de Sinaloa) son eventos discretos y relativamente poco frecuentes respecto al tamaño de la población. Su dinámica real es compleja y difícilmente puede describirse por completo mediante un modelo probabilístico sencillo. Sin embargo, como primera aproximación, un proceso de Poisson permite simplificar el problema y obtener una medida útil de su frecuencia e incertidumbre, sin alejarnos excesivamente de la realidad observada.

El objetivo de este texto es, primero, presentar el procedimiento estadístico para estimar la tasa de ocurrencia a partir de los eventos observados y cuantificar su incertidumbre. Segundo, aplicaremos esta aproximación a los delitos de alto impacto registrados oficialmente en Sinaloa durante 2025. Más adelante podremos evaluar las limitaciones del modelo y considerar alternativas que representen mejor la variación temporal y espacial de estos eventos.

2. El proceso de Poisson

Sea N(t) el número de delitos de alto impacto ocurridos en un intervalo de tiempo de longitud t (medido en años). Supongamos que N(t) sigue un proceso de Poisson homogéneo de tasa λ (eventos por año), lo que implica que el número de eventos observados en un año sigue la distribución,

2.1 Estimador de máxima verosimilitud de λ

La función de verosimilitud es

y la log-verosimilitud correspondiente

Derivando respecto a λ e igualando a cero,

2.2 Tasa per cápita y normalización poblacional

Para comparar tasas entre poblaciones de distinto tamaño, conviene definir la tasa per cápita τ̂ =  λ̂ / P, donde P es la población de referencia. El estimador correspondiente es

Por convención, suele reportarse τ̂ × 100,000, es decir, la tasa por cada 100,000 habitantes.

2.3 Varianza del estimador e intervalo de confianza

de donde el error estándar del estimador de la tasa per cápita es,

Cuando el conteo total observado x = Σxᵢ es suficientemente grande (regla práctica: x ≳ 30), la distribución de λ̂ se aproxima razonablemente bien por una normal, y un intervalo de confianza del (1−α) para τ̂ puede construirse como,

3. VENTANA DE OBSERVACIÓN Y RAZÓN SEÑAL-RUIDO

Considérese nuevamente el proceso de Poisson N(t), con tasa estimada λ̂ = 1,845 eventos/año. Para una ventana de observación de longitud t (en años), el valor esperado del conteo (la señal, la tendencia real) y su desviación estándar (el ruido, la variabilidad propia de una sola observación) son

Se define la razón señal-ruido como el cociente entre ambas cantidades,

y, de manera equivalente, el coeficiente de variación (la magnitud del ruido relativa a la señal) como su inverso,

Nótese que Z(t) y CV(t) se derivan directamente de  λ̂, sin necesidad de introducir parámetros adicionales de normalización, a diferencia de construcciones que convierten un proceso de Poisson en uno browniano compuesto (véase la discusión sobre los parámetros de aproximación de difusión en Whitt (2002), ver Ref. [6]), aquí la razón señal-ruido es una consecuencia directa y única de la tasa ya estimada.

Cuando t → 0: Z(t) → 0 y CV(t) → ∞ — la variabilidad relativa del conteo observado crece sin límite, y una sola observación en una ventana suficientemente corta deja de ser informativa sobre la tendencia λ.

Cuando t → ∞: Z(t) → ∞ y CV(t) → 0 — el conteo observado converge, en términos relativos, al valor esperado.

Este es, formalizado para un proceso de conteo y sin ningún parámetro libre, el mismo argumento que plantea Nassim Nicholas Taleb en "Fooled by Randomness" [1] a propósito de un inversionista que revisa el rendimiento de su portafolio con distinta frecuencia: una tendencia de fondo favorable puede parecer una certeza casi total observada en ventanas largas, y al mismo tiempo una moneda al aire observada en ventanas cortas, sin que la tendencia de fondo haya cambiado en absoluto. En el ejemplo de Taleb, la razón señal-ruido anual es un valor ilustrativo elegido de antemano, no derivado de datos; aquí, en cambio, Z(t) se deriva enteramente de la tasa λ̂ estimada en la sección 3.

4. CASO PARTICULAR: DELITOS DE ALTO IMPACTO EN SINALOA, 2025

Utilizamos la cifra reportada por la Plataforma de Incidencia Delictiva del Observatorio Nacional Ciudadano (ONC, disponible en https://delitosmexico.onc.org.mx/): 1,845 delitos de alto impacto registrados en Sinaloa, categoría que para esta extracción incluye homicidio doloso, feminicidio, secuestro y violación. La población de referencia se toma de las cifras estatales reportadas por el Consejo Estatal de Seguridad Pública (CESP): P = 3,026,943 habitantes.

Nota de transparencia: la fuente primaria de esta cifra son las carpetas de investigación institucionales reportadas al SESNSP (y procesadas para su visualización por el ONC), no el INEGI en sentido estricto. El INEGI produce estadísticas de victimización por encuesta (ENVIPE) y estadísticas vitales, pero no es la fuente administrativa de estos registros oficiales.

4.1 Cálculo del estimador puntual

Con T = 1 año y x₁ = 1,845:

λ̂ = 1,845 eventos/año (agregado estatal)

τ̂ = 1,845 / 3,026,943 = 6.0952 × 10⁻⁴ eventos/persona/año

τ̂ × 100,000 = 60.95 delitos de alto impacto por cada 100,000 habitantes

4.2 Intervalo de confianza

De la seccion 2.3 tenemos que error estándar del estimador de la tasa per cápita se puede calcular como

SE(τ̂) = √( 6.0952×10⁻⁴ / 3,026,943 ) = 1.4190 × 10⁻⁵

En unidades por cada 100,000 habitantes: SE = 1.42. El intervalo de confianza del 95% (aproximación normal, válida dado que x = 1,845 es mucho mayor a 30):

60.95  ±  1.96 × 1.42  =  60.95 ± 2.78

IC 95% = [58.17 , 63.73] por cada 100,000 habitantes

4.3 Probabilidades y cantidades derivadas

Probabilidad individual anual de sufrir un evento. Bajo el proceso de Poisson, la probabilidad de que una persona (λ̂=τ̂/1) cualquiera sufra al menos un evento en un año es

Tiempo medio esperado entre eventos, a escala individual. El tiempo entre eventos de un proceso de Poisson sigue una distribución exponencial de media $1/\tau$:

Tiempo medio esperado entre eventos, a escala estatal agregada. Con λ̂ = 1845 eventos/año en todo el estado:

En otras palabras, en promedio, un nuevo delito de alto impacto se registra en algún punto del estado cada 4.75 horas, mientras que, a escala de una persona en particular, el tiempo medio esperado hasta sufrir uno es de aproximadamente 1,641 años. Ambas cifras son consistentes entre sí (son la misma tasa, vista a dos escalas de agregación distintas) y su contraste ilustra numéricamente por qué la frecuencia de la cobertura mediática (que opera a escala agregada estatal, donde un evento cada pocas horas es noticia constante) no debe confundirse con la frecuencia relevante para la experiencia de un individuo.

4.4 Cálculo numérico

A escala anual, el ruido relativo representa apenas un 2.33% de la señal; a este nivel macroscópico, el conteo observado es un estimador robusto y confiable de la tendencia. Sin embargo, conforme se acorta la ventana temporal, la varianza devora a la información. Para cuando observamos la incidencia a escala diaria, el ruido ya equivale a casi la mitad de la señal (44.48%), y al descender a una resolución horaria (el ciclo típico del consumo de noticias) el ruido supera a la tendencia real en más del doble (217.90%).

Al llegar a la escala de segundos (el instante que toma recibir y leer una alerta puntual), la desviación estándar es más de 130 veces mayor que el valor esperado (un coeficiente de variación superior al 13,000%). En esta resolución microscópica, la observación es, en términos estrictamente estadísticos, indistinguible del ruido puro. Es fundamental entender que ninguna de estas fluctuaciones de alta frecuencia refleja un cambio material en el peligro real, el cual sigue gobernado por la misma  λ̂  constante en todos los casos. Lo que se evapora es exclusivamente la confiabilidad de la ventana de observación como termómetro de esa tendencia; confundir el ruido de corto plazo con la señal de fondo es una falacia estadística clásica.

Ventana	t (fracción de año)	Z(t)	CV(t)
1 año	1	42.95	2.33%
1 trimestre	1/4	21.48	4.66%
1 mes	1/12	12.40	8.06%
1 semana	1/52	5.96	16.79%
1 día	1/365	2.25	44.48%
1 hora	1/8,760	0.46	217.90%
1 minuto	1/525,600	0.059	1688%
Segundos (consulta rápida)	1/31,536,000	0.008	13074%

5. LIMITACIONES

1. Estacionariedad. El modelo de Poisson homogéneo supone una tasa λ constante en el tiempo. Reportes basados en la misma fuente (FGE) documentan que la tasa de delitos de alto impacto en Sinaloa ha variado sustancialmente entre 2019 y 2025 (con una reducción sostenida entre 2020 y 2023 y un repunte marcado en 2024 y 2025), lo cual viola el supuesto de homogeneidad temporal. El estimador aquí presentado debe interpretarse como la tasa promedio observada durante 2024 específicamente, no como una constante estructural.

2. Subregistro (cifra negra). Los registros administrativos de la FGE dependen de la denuncia. La Encuesta Nacional de Victimización (ENVIPE, INEGI) reporta consistentemente una cifra negra superior al 90% para el conjunto de los delitos, aunque esta proporción es considerablemente menor para los delitos de alto impacto —en particular el homicidio doloso, que por su naturaleza tiene un registro casi completo—. Aun así, es posible que τ̂ subestime la incidencia real de otros componentes de la categoría, como la violación.

3. Definición no estandarizada. La composición exacta de "delitos de alto impacto" difiere entre la definición usada por la FGE de Sinaloa (homicidio doloso, feminicidio, secuestro, violación, robo bancario) y la empleada por el SESNSP a nivel nacional (que añade robo de vehículo, robo a negocio, extorsión y lesiones dolosas, entre otros). El valor de τ̂ calculado aquí corresponde estrictamente a la primera definición.

4. Escala geográfica. La tasa se calculó a nivel estatal. La incidencia real está geográficamente concentrada (Culiacán, Mazatlán y Ahome concentran la mayoría de los casos), por lo que τ̂ no debe interpretarse como una tasa homogénea válida para cualquier municipio del estado.

6. CONCLUSIONES

Se derivó formalmente el estimador de máxima verosimilitud de la tasa de un proceso de Poisson y su intervalo de confianza asociado, y se aplicó a la estimación de la tasa de delitos de alto impacto en Sinaloa durante 2025: τ̂ = 67.06 por cada 100,000 habitantes (IC 95%: 64.14–69.98).

Las cantidades derivadas (una probabilidad individual anual de 0.067% y un tiempo medio esperado de 1,491 años entre eventos a escala personal, frente a 4.3 horas entre eventos a escala estatal agregada) cuantifican con precisión la diferencia entre la frecuencia con la que estos eventos alimentan la cobertura noticiosa (escala agregada) y la frecuencia con la que afectan a una persona en particular (escala individual).

Finalmente, la razón señal-ruido Z(t) = √(λ̂·t), derivada sin parámetros adicionales a partir de la misma λ̂, muestra formalmente que la confiabilidad de una observación como indicador de la tendencia se degrada de manera predecible conforme se acorta la ventana temporal (del 2.2% de ruido relativo a escala anual al 13074% a escala de segundos), lo cual formaliza, para un proceso de conteo real y con datos oficiales, el argumento que Nassim Nicholas Taleb planteó de forma ilustrativa sobre la observación de tendencias financieras.

Referencias

[1]  Taleb, N. N. (2001). Fooled by Randomness: The Hidden Role of Chance in Life and in the Markets. Random House.

[2]  Fiscalía General del Estado de Sinaloa (FGE). (2025). Reporte de incidencia delictiva anual 2024. Disponible en el portal oficial de transparencia o estadísticas de la FGE: https://fiscaliasinaloa.mx

[3]  Consejo Estatal de Seguridad Pública (CESP) de Sinaloa. (2024). Proyecciones y datos poblacionales 2024. Disponible en: https://cespsinaloa.gob.mx/

[4]  Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI). (2024). Encuesta Nacional de Victimización y Percepción sobre Seguridad Pública (ENVIPE) 2024. Disponible en: https://www.inegi.org.mx/programas/envipe/2024/

[5]  Secretariado Ejecutivo del Sistema Nacional de Seguridad Pública (SESNSP). (2025). In- cidencia Delictiva del Fuero Común 2024. Datos de consulta abiertos en: https://www. gob.mx/sesnsp

[6] Whitt, W. (2002). Stochastic-Process Limits: An Introduction to Applied Probability. Springer.

[7] Casella, G. y Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2da ed.). Duxbury Press.